散点图

简介

散点图是一种二维图表，用点的形式表示两个变量之间的对应关系。

  • 横坐标（x 轴）：一个变量（自变量）

  • 纵坐标（y 轴）：另一个变量（因变量）

  • 每个点代表一组观测值

功能

  1. 展示变量之间的关系

    • 判断变量之间是否存在线性关系、非线性关系或无关性。

  2. 发现相关性

    • 趋势向上 → 正相关

    • 趋势向下 → 负相关

    • 无明显趋势 → 无相关

  3. 检测异常值 (outliers)

    • 离群点会远离大部分数据，提示数据异常或特殊情况。

  4. 分布与聚类分析

    • 观察点的分布形态，判断是否存在某种分组或聚类现象。

  5. 建模前的可视化检查

    • 帮助决定是否适合用线性回归、多项式回归等模型。

优点

  • 直观性强：能快速判断变量之间的关系。

  • 信息量大：能同时展示所有观测点的分布情况。

  • 易于发现规律：趋势、相关性和聚类模式一目了然。

  • 支持扩展：可以通过颜色、大小等增加第三个变量的维度。

缺点

  • 只能展示两个变量（或加上颜色/大小后扩展到 3 个维度）。

  • 数据量太大时会重叠，难以看清规律（需用透明度或采样）。

  • 关系复杂时不易解释，尤其是非线性或多重交互效应。

  • 不提供定量指标，只能作为定性分析工具，需要配合统计方法（如相关系数、回归分析）。

绘制散点图

绘制电视广告投入与销量之间的散点图

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

df=pd.read_csv("Advertising.csv")

sns.scatterplot(data=df, x="TV", y="sales")
plt.title("Scatter Plot: TV ads vs Sales")
plt.xlabel("TV Advertising Budget (thousands of $)")
plt.ylabel("Sales (thousands of units)")

scatter-o

添加回归函数

sns.lmplot(data=df, x="TV", y="sales", height=6, aspect=1.2)
plt.title("Linear Regression: TV ads vs Sales")
plt.xlabel("TV Advertising Budget (thousands of $)")
plt.ylabel("Sales (thousands of units)")
plt.show()

scatter

计算相关性指数

import pandas as pd

# 计算 TV 与 sales 的相关系数
r = df["TV"].corr(df["sales"])
print(r)

0.7822244248616066， r>0.6，证明两者有相关性

r 值范围

相关性强度

|r| > 0.7

强相关

0.3 ≤ |r| ≤ 0.7

中等相关

|r| < 0.3

弱相关或几乎无关

绘制残差图

sns.residplot(x="TV", y="sales", data=df, lowess=True, color="red")
plt.title("Residual Plot: TV vs Sales")
plt.show()

residual

观察残差分布的作用主要是用来 验证模型是否合适。残差就是「真实值 - 模型预测值」，如果模型合理，残差应该是“随机噪声”。如果点云在 0 上下随机分布 → 说明线性回归的假设成立。如果残差呈现出弯曲趋势 → 表明模型可能需要换成非线性回归。

绘制成对关系图

sns.pairplot(df[["TV", "radio", "newspaper", "sales"]], kind="reg", diag_kind="kde")

plt.show()

pairplot

自变量与销售额 (sales) 的关系

  • TV vs sales：关系最明显，几乎呈线性正相关，说明电视广告投入越多，销量越高。

  • radio vs sales：也有正相关，但散点比 TV 分散，关系不如 TV 明显。

  • newspaper vs sales：相关性最弱，点云比较散，说明报纸广告对销量影响不大。

自变量之间的关系

  • TV 与 radio 基本没有明显关系（点比较分散）。

  • radio 与 newspaper 有一定弱相关。

  • TV 与 newspaper 几乎无关。

单变量分布

  • 对角线上的 KDE 曲线展示了每个变量的分布：

  • TV 投入主要集中在 50~300 区间，有两个峰。

  • radio 投入相对均匀分布。

  • newspaper 投入偏小，大部分在 0~50 之间。

  • sales（销量）大部分集中在 10~20 之间。

总结

  • 电视广告 是影响销量的最主要因素；

  • 广播广告 有一定作用，但不如电视显著；

  • 报纸广告 几乎没有明显作用；

  • 各广告渠道之间 基本独立。

拟合函数

使用sklearn

from sklearn.linear_model import LinearRegression

X = df[["TV", "radio", "newspaper"]]  # 多元自变量
y = df["sales"]

model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

print("截距:", model.intercept_)
print("回归系数:", model.coef_)

截距: 2.9388893694594085
回归系数: [ 0.04576465  0.18853002 -0.00103749]

Python定义函数

def predict_sales(TV, radio, newspaper):
    intercept = 2.9388893694594085
    coef_TV = 0.04576465
    coef_radio = 0.18853002
    coef_newspaper = -0.00103749
    
    sales = intercept + coef_TV * TV + coef_radio * radio + coef_newspaper * newspaper
    return sales

预测销量

# 输入 TV=100, radio=20, newspaper=30
print(predict_sales(100, 20, 30))

11.254830069459409